Александр Никишин родился в Ульяновской области в 1960 году. Окончил Куйбышевский мединститут по специальности «Лечебное дело» в 1983 году, в 2008 году получил степень бакалавра экономики.
В 1991 году он завершил обучение в ординатуре по специальности «Организация здравоохранения». Стажировался в Европе.
С 1984 году работал врачом-хирургом в пензенской горбольнице № 5 .
В период с 1992 по 1999 год был заместителем главврача медсанчасти № 2 города Пензы. С 2001 по 2004 год — заместителем главврача, главврачом медсанчасти № 2 и главврачом городской Клинической больницы № 4.
Александр Никишин был с 2004 по 2006 год исполнительным директором ТФОМС. С июня 2006 года по 2009 год возглавлял онкодиспансер.
Руководил областным министерством здравоохранения и соцразвития в 2009 — 2010 годах.
В марте 2017 года стал главврачом областной больницы им. Н. Н. Бурденко.
С 28 июня 2019 года Александр Никишин приступил к исполнению обязанностей в должности руководителя пензенского Минздрава.
Александр Викторович ушёл в отставку по собственному желанию в августе 2021 года.